Question

已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足：对∀x₁，x₂∈（0，+∞）恒有，且当x＞1时，f（x）＜0．
（1）求f（1）的值；
（2）证明：函数f（x）在区间（0，+∞）上为单调递减函数；
（3）若f（3）=-1，
（ⅰ）求f（9）的值；（ⅱ）解不等式：f（3^x）＜-2．

Answer

（1）根据题意和式子的特点，先令x1=x2=1求出f（1）=0；
（2）先任取x2＞x1＞0，再代入所给的式子进行作差变形，利用 且 ＜0，判断符号并得出结论；
（3）根据题意，把不等式转化为f（3x）＜f（9），再由（2）的结论知3x＞9，故解此不等式即可．
【解析】
（1）由题意知，对定义域内的任意x1，x2都有
令x1=x2=1，代入上式解得f（1）=0，
（2）设x2＞x1＞0，则
∵x2＞x1＞0，∴，∴＜0，
即f（x2）-f（x1）＜0，∴f（x2）＜f（x1）
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（3）∵f（3）=-1，∴f（9）=f（3）+f（3）=-2，
∴不等式f（3x）＜-2可化为f（3x）＜f（9），
又∵函数在（0，+∞）上是减函数，∴3x＞9，
即3x＞32，解得：x＞2，
即不等式的解集为 （2，+∞）．