Question

（1）阅读程序框图，若输入x=1，输出y值为66，求输入的n值；
（2）令输入n=20，程序框图表示输入x，求函数y=f（x）的值的一个算法，请写出y=f（x）的解析式；
（3）在（2）的条件下，若f（x）=a₂₀（x-1）²⁰+a₁₉（x-1）¹⁹+…+a₁（x-1）+a，求a₃．

Answer

（1）因为程序框图显示的是求满足要求的输入数据的和x=1，可以得到1+2+3+…+（n+1）=66，，再解方程求出n的值即可；
（2）直接由输入n=20，知道判断条件不变，然后根据程序框图即可求出y=f（x）的解析式；
（3）把（2）中求出的结论整理一下，与题中所给条件相结合可得所求为（x-1）3的系数，再结合二项式定理的有关结论即可解题．
【解析】
（1）：由已知1+2+3+…+（n+1）=66，得n2+3n-130=0
从而解得n=10（n=-13舍）．
（2）：由程序框图可得：f（x）=（…（（x+2）x+3）x+…）x+21
=x20+2x19+3x18+…+20x+21．
（3）：因为f（x）=[（x-1）+1]20+2[（x-1）+1]19+…+20[（x-1）+1]+21．
所以：a3=C203+2C193+3C183+…+18C33
=（C203+C193+C183+…+C33）+（C193+C183+…+C33）+…+（C43+C33）+C33
=C214+C204+C194+…+C54+C44
=C225
=26334．