Question

已知f（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ，且a₁，a₂，a₃，…，a_n组成等差数列（n为正偶数），又f（1）=n²，f（-1）=n；
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）求f（）的值；
（3）比较f（）的值与3的大小，并说明理由．

Answer

（1）设数列的公差为d，因为f（1）=a1+a2+a3+…+an=n2，即数列的前n项和为n2，则n有a1+d=n2，又f（-1）=-a1+a2-a3+…-an-1+an=n，即×d=n，d=2，联立可得答案；
（2）根据题意，f（）=（）+3（）2+5（）3+…+（2n-1）（）n，将f（）看成一个数列的前n项和，由错位相减法求解即可；
（3）由（2）的结论，f（）=-（2n+3）（）n，易得f（）＜，进而可得答案．
【解析】
（1）设数列的公差为d，
因为f（1）=a1+a2+a3+…+an=n2，则na1+d=n2，即2a1+（n-1）d=2n．
又f（-1）=-a1+a2-a3+…-an-1+an=n，即×d=n，d=2．
解得a1=1．
∴an=1+2（n-1）=2n-1．
（2）f（）=（）+3（）2+5（）3+…+（2n-1）（）n，①
两边都乘以，可得f（）=（）2+3（）3+5（）4+…+（2n-1）（）n+1，②
①-②，得 f（ ）=+2（ ）2+2（ ）3+…+2（ ）n-（2n-1）（ ）n+1，
即f（ ）=++（ ）2+…+（ ）n-1-（2n-1）（ ）n+1．
∴f（ ）=1+1+++…+-（2n-1）=1+-（2n-1）=1+2--（2n-1）=3-（2n+3）（）n；
则f（）=3-（2n+3）（）n；
（3）由（2）的结论，f（）=3-（2n+3）（）n，
又由（2n+3）（）n＞0，
易得3-（2n+3）（）n＜3，
则f（）＜3．