Question

设点P（x，y）（y≥0）为平面直角坐标系xOy中的一个动点（O为坐标原点），点P到定点的距离比点P到x轴的距离大．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若直线l：y=kx+1与点P的轨迹相交于A、B两点，且，求k的值；
（3）设点P的轨迹曲线为C，点Q（x，y）（x≤1）是曲线C上的一点，求以点Q为切点的曲线C的切线方程及切线倾斜角的取值范围．

Answer

（1）过P作x轴垂线且垂足为N，由题意可知．由y≥0，知，由此能求出点P的轨迹方程．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立得x2-2kx-2=0，所以x1+x2=2k，x1x2=-2，再由，结合弦长公式能求出k的值．
（3）因为Q（x，y）在曲线C上，所以切点，又求导得y'=x，所以切线斜率k=x，切线方程为2xx-2y-x2=0，由此能求出倾斜角取值范围．
【解析】
（1）过P作x轴垂线且垂足为N，由题意可知
而y≥0，∴|PN|=y，∴
化简得x2=2y（y≥0）为所求的方程．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，
得x2-2kx-2=0，
∴x1+x2=2k，
x1x2=-2，
∴k4+3k2-4=0，
而k2≥0，
∴k2=1，
∴k=±1．
（3）因为Q（x，y）在曲线C上，
∴x2=2y，
∴切点．
又求导得y'=x，
∴切线斜率k=x
则切线方程为，
即2xx-2y-x2=0为所求切线方程，
又x≤1，
∴切线斜率k≤1，
∴倾斜角取值范围为．