Question

已知函数f（x）=
（1）当a=，x∈（0，+∞）时，求函数f（x）的最小值
（2）若对于任意x∈[1，+∞），不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）用分离常数法，把f（x）分离为，再利用函数的单调性来求f（x）的最小值．
（2）先用分离常数法把函数分离，再分和1的大小进行讨论，并利用函数的单调性来求f（x）的最小值，即可求得实数a的取值范围．
【解析】
【解析】
（1）当a= 时，f（x）=．
通过讨论单调性得，f（x）在（0，）上为减函数，在[，+∞）上为增函数．
∴f（x）min=f（）=+2．
（2）函数f（x）=x++2在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．
若 ＞1，即a＞1时，f（x）在区间[1，+∞）上先减后增，f（x）min=f（ ）=2 +2．
若 ≤1，即0＜a≤1时，
f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，
∴f（x）min=f（1）=a+3．
而不等式f（x）＞0恒成立，说明a+3＞0，得a＞-3
求实数a的取值范围（-3，+∞）．