Question

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知对任意的n∈N^*，点（n，S_n），均在函数y=b^x+r（b＞0且b≠1，b，r均为常数）的图象上．  
（1）求r的值；
（2）当b=2时，记bn=（n∈N^*），求数列{b_n} 的前n项和T_n
（3）由（2），是否存在最小的整数m，使得对于任意的n∈N^*，均有，若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

Answer

（1）由已知得 Sn=bn+r，利用数列中an与 Sn关系求{an}的通项公式，再据定义求出r的值；
（2）由（1）求得bn=，即可得到再用错位相消法求Tn；
（3）对于任意的n∈N*，均有，，利用数列的函数性质，求出3-2Tn的最大值，再去确定m的取值情况．
【解析】
（1）因为对任意的n∈N*，点（n，Sn），均在函数y=bx+r（b＞0且b≠1，b，r均为常数）的图象上
所以得   Sn=bn+r，
当n=1时，a1=S1=b+r，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=bn+r-（bn-1+r ）=（b-1）b n-1，
又因为{an}为等比数列，∴公比为b，所以 ，解得r=-1，首项a1=b-1，
∴an=（b-1）bn-1    
（2）当b=2时，an=2n-1，bn===   
则 
∴    
两式相减，得
=
=-
∴Tn=-=-
（3）若 使得对于任意的n∈N*，都成立
∴3-（3-）＜，
即＜对于任意的n∈N*，都成立
又，
∴的最大值在n=1时取得，最大值为2，
∴＞2，m＞40，所以存在这样的m=41符合题意．