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已知数列{an}满足a1=1,an=logn(n+1)(n≥2,n∈N*).定义...

已知数列{an}满足a1=1,an=logn(n+1)(n≥2,n∈N*).定义:使乘积a1•a2•a3…ak为正整数的k(k∈N*)叫做“和谐数”,则在区间[1,2010]内所有的“和谐数”的和为( )
A.2048
B.4096
C.2026
D.4083
利用an=logn+1(n+2),化简a1•a2•a3…ak,得k=2m-2,给m依次取值,可得区间[1,2010]内所有和谐数,然后求和. 【解析】 an=logn+1(n+2), ∴由a1•a2…ak为整数得1•log23•log34…log(k+1)(k+2)=log2(k+2)为整数, 设log2(k+2)=m,则k+2=2m, ∴k=2m-2; 因为211=2048>2010, ∴区间[1,2010]内所有和谐数为:22-2,23-2,24-2,…,210-2, 其和M=22-2+23-2+24-2+…+210-2=2026. 故选C.
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