Question

已知成等差数列．又数列{a_n}（a_n＞0）中，a₁=3，此数列的前n项的和S_n（n∈N₊）对所有大于1的正整数n都有S_n=f（S_n-1）．
（1）求数列{a_n}的第n+1项；
（2）若，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：1≤T_n＜2（n∈N₊）

Answer

（1）由成等差数列，知，所以．由Sn=f（Sn-1），（n≥2），知，由此能求出数列{an}的第n+1项．
（2）由（n≥2），，由此能证明1≤Tn＜2（n∈N+）．
【解析】
（1）∵成等差数列，
∴
∴．（2分）
∵Sn=f（Sn-1），（n≥2），
∴，
∴，
∴{}是以为公差的等差数列．（4分）
∵a1=3，
∴S1=a1=3，
∴，
∴Sn=3n2（n∈N+）．
∴an+1=Sn+1-Sn=3（n+1）2-3n2=6n+3．（6分）
（2）由（1）得（n≥2）（8分）
所以（11分）
显然Tn≥b1=1，
综上1≤Tn＜2（n∈N+）（12分）