Question

数列{a_n}中，相邻两项a_n，a_n+1是方程x²+3nx+b_n=0的两根，已知a₁₀=-17，则b₅₁的值等于（ ）
A．5800
B．5840
C．5860
D．6000

Answer

由an，an+1是方程x2+3nx+bn=0的两根，知an+an+1=-3n，an•an+1=bn．所以an+2-an=（an+2+an+1）-（an+1+an）=-3（n+1）-（-3n）=-3，故a1，a3，…，a2n+1和a2，a4，…，an都是公差为-3的等差数列，所以a52=-80，a51=-73，由此能求出b51．
【解析】
∵an，an+1是方程x2+3nx+bn=0的两根，
∴an+an+1=-3n，an•an+1=bn．
∴an+2-an=（an+2+an+1）-（an+1+an）=-3（n+1）-（-3n）=-3
∴a1，a3，…，a2n+1和a2，a4，…，an都是公差为-3的等差数列，
∴a52=a10+21（-3）=-80，
a51=a11+20（-3），
∵a10+a11=-30，
∴a11=-13，
∴a51=-73，
∴b51=a51•a52=5840．
故选B．