Question

已知等比数列{a_n}的各项均为不等于1的正数，数列{b_n}满b_n=lga_n，b₃=18，b₆=12，则数列{b_n}前n项和的最大值为    ．

Answer

由题意可知：lga3=b3，lga6=b6．再由b3，b6，用a1和q表示出a3和b6，进而求得q和a1，根据{an}为正项等比数列推知{bn}为等差数列，进而得出数列bn的通项公式和前n项和，可知Sn的表达式为一元二次函数，根据其单调性进而求得Sn的最大值．
【解析】
由题意可知：lga3=b3，lga6=b6．
又因为b3=18，b6=12，所以a1q2=1018，a1q5=1012，
所以q3=10-6，即q=10-2，∴a1=1022．
又因为数列{an}为等比数列，
所以数列{bn}是等差数列，并且且d=-2，b1=22，
所以bn=22+（n-1）×（-2）=-2n+24．
∴Sn=22n+×（-2）=-n2+23n=+，
又因为n∈N*，所以n=11或12时，数列{bn}前n项和的最大值为132．
故答案为132．