Question

已知函数，在x=1处取得极值2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）m满足什么条件时，区间（m，2m+1）为函数f（x）的单调增区间？
（Ⅲ）设直线l为曲线的切线，求直线l的斜率的取值范围．

Answer

（Ⅰ）先求函数f（x）的导数，由函数在x=1处取得极值，知当x=1时导数等于0，又因为极值为2，所以当x=2时函数值等于2，这样就可求出a，b的值．
（Ⅱ）要使区间（m，2m+1）为函数f（x）的单调增区间，则区间（m，2m+1）为函数f（x）的增区间的子区间，先利用导数，求出函数f（x）的单调增区间，再比较（m，2m+1）区间端点与函数f（x）的单调增区间区间端点的大小即可．
（Ⅲ）因为曲线的切线的斜率就是函数在切点处的导数，所以要求切线斜率的范围，就是求曲线在切点处的导数的范围．求导，在借助二次函数求出范围即可．
【解析】
（Ⅰ）已知函数f（x）=，∴．
又函数f（x）在x=1处取得极值2，∴即
当a=4，b=1，∴，
当-1＜x＜1时，f'（x）＞0，x＞1时，f'（x）＜0，∴f（x）在x=1处取得极值．∴．
（Ⅱ）由．

x （-∞，-1） -1 （-1，1） 1 （1，+∞）
f'（x） - + -
f（x） ↘ 极小值-2 ↗ 极大值2 ↘

所以的单调增区间为[-1，1]．
若（m，2m+1）为函数f（x）的单调增区间，则有解得-1＜m≤0．
即m∈（-1，0]时，（m，2m+1）为函数f（x）的单调增区间．
（Ⅲ）∵，∴．
设切点为P（x，y），则直线l的斜率为．
令，则直线l的斜率k=4（2t2-t），t∈（0，1]，∴．