Question

某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C与产量q的函数关系式为．该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格p与产量q的函数关系式如下表所示：

市场情形	概率	价格p与产量q的函数关系式
好	0.4	p=164-3q
中	0.4	p=101-3q
差	0.2	p=70-3q

设L₁，L₂，L₃分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量ξ_k，表示当产量为q，而市场前景无法确定的利润．
（I）分别求利润L₁，L₂，L₃与产量q的函数关系式；
（II）当产量q确定时，求期望Eξ_k，试问产量q取何值时，Eξ_k取得最大值．

Answer

（I）根据所给的表格中的数据和题意可以写出利润L1，L2，L3与产量q的函数关系式，整理合并同类项得到关于q的三次函数，写出自变量q的取值范围．
（II）写出期望的表示式，根据多项式的四则运算，写出最简形式，利用函数的导数求函数的最值，对函数求导，令导数等于0，解出q的值，确定这是函数的最大值．
【解析】
（I）根据所给的表格中的数据和题意写出

=．
同理可得．
．
（II）由期望定义可知Eξq=0.4L1+0.4L2+0.2L3
=
=．
可知Eξq是产量q的函数，设，
得f'（q）=-q2+100．令f'（q）=0解得q=10，q=-10（舍去）．
由题意及问题的实际意义可知，当q=10时，f（q）取得最大值，即Eξq最大时的产量为10．