Question

一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M、G分别是AB、DF的中点．
（1）在AD上（含A、D端点）确定一点P，使得GP∥平面FMC；
（2）一只苍蝇在几何体ADF-BCE内自由飞翔，求它飞入几何体F-AMCD内的概率．

Answer

（1）由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=DC，点P在A点处，取FC中点S，连接GS、MS、GA，根据中位线定理可知GS∥AB且GS=AB，从而得到四边形AGSM为平行四边形，可证得结论；
（2）先根据三棱锥的体积公式求出F-AMCD的体积与三棱锥的体积公式求出ADF-BCE的体积，最后根据几何概型的概率公式解之即可．
（本小题满分12分）．
【解析】
由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=DC
（1）点P在A点处．…（2分）
证明：取FC中点S，连接GS、MS、GA
∵G是DF的中点，
∴GS∥AB，且GS=AB，
∴四边形AGSM为平行四边形
∴AG∥MS，而AG⊄平面FMC，MS⊂平面FMC
∴AG∥面FMC，
∴在AD上（含A、D端点）确定一点P即在A点处，使得GP∥平面FMC；
（2）因为，
，…（10分）
所以它飞入几何体F-AMCD内的概率为=…（12分）