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已知曲线E上任意一点P到两个定点和的距离之和为4, (1)求曲线E的方程; (2...

已知曲线E上任意一点P到两个定点manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网的距离之和为4,
(1)求曲线E的方程;
(2)设过(0,-2)的直线l与曲线E交于C、D两点,且manfen5.com 满分网(O为坐标原点),求直线l的方程.
(1)根据题中条件:“距离之和为4”结合椭圆的定义,可知动点M的轨迹为椭圆,从而即可写出动点M的轨迹方程; (2)先考虑当直线l的斜率不存在时,不满足题意,再考虑当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx-2,设C(x1,y1),D(x2,y2),由向量和数量积可得:x1x2+y1y2=0,由方程组,将直线的方程代入椭圆的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合根系数的关系即可求得k值,从而解决问题. 【解析】 (1)根据椭圆的定义,可知动点M的轨迹为椭圆 其中a=2,,则, 所以动点M的轨迹方程为; (2)当直线l的斜率不存在时,不满足题意, 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx-2,设C(x1,y1),D(x2,y2), ∵, ∴x1x2+y1y2=0, ∵y1=kx1-2,y2=kx2-2, ∴y1y2=k2x1•x2-2k(x1+x2)+4, ∴(1+k2)x1x2-2k(x1+x2)+4=0① 由方程组 得(1+4k2)x2-16kx+12=0, 则,, 代入①,得, 即k2=4,解得,k=2或k=-2, 所以,直线l的方程是y=2x-2或y=-2x-2.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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