Question

3名男生4名女生按照不同的要求站成一排，求不同的排队方案有多少种？
（1）甲乙2人必须站两端；     
（2）甲不站左端，乙不站右端；
（3）甲乙两人必须相邻；      
（4）3名男生自左向右由高到低排列．

Answer

（1）分2步进行：先安排甲乙2人站两端，进而将其余的5人安排在中间5个位置，由排列公式可得其情况数目，进而由分步计数原理计算可得答案；
（2）分2种情况讨论，一种是甲不站在两端，令一种是甲站在右端，由排列公式可得其情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案；
（3）用捆绑法，先将甲乙两人视为一个元素，与其他5人进行全排列，再考虑甲乙两人的顺序，由排列公式可得其情况数目，进而由分步计数原理计算可得答案；
（4）分2步进行：先在7个位置任取4个，来安排女生，进而将3名男生自左向右由高到低排进剩余的3个位置，由排列公式可得其情况数目，进而由分步计数原理计算可得答案．
【解析】
（1）根据题意，甲乙2人站两端，有A22种情况，其余的5人在中间5个位置，有A55种情况，
则共有A22A55=240种排队方案，
（2）分2种情况讨论，若甲不站在两端，甲有A51种站法，乙有A51种站法，剩余5人站剩余5个位置，有A55种站法，
若甲站在右端，剩余6人站剩余6个位置，有A66种站法，
则共有A51A51A55+A66=3720种排队方案，
（3）甲乙两人必须相邻，将甲乙两人视为一个元素，与其他5人进行全排列，有A66种站法，
考虑甲乙两人的顺序，有A22种站法，则有A66A22=1440种排队方案，
（4）先在7个位置任取4个，来安排女生，有A74种情况，
3名男生自左向右由高到低排进剩余的3个位置，有1种情况，
则共有1×A74=840种排队方案．