Question

定义：在数列{a_n}中，若a_n²-a_n-1²=p，（n≥2，n∈N^*，p为常数），则称{a_n}为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的有关判断：
①若{a_n}是“等方差数列”，则数列是等差数列；
②{（-2）ⁿ}是“等方差数列”；
③若{a_n}是“等方差数列”，则数列{a_kn}（k∈N^*，k为常数）也是“等方差数列”；
④若{a_n}既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列是常数数列．
其中正确的命题为    ．（写出所有正确命题的序号）

Answer

①：可以举反例，如an=0可判定真假；②：对数列{（-2）n}直接根据定义进行判定即可；③：对数列{akn}可利用叠加法进行判定；④：设数列{an}首项a1，公差为d，然后根据等方差数列的定义建立关系式，看d是否为0，从而判定真假．
【解析】
①：可以举反例．如an=0时数列不存在，所以①错误
②：对数列{（-2）n}有an2-an-12=[（-2）n]2-[（-2）n-1]2=4n-4n-1不是常数，所以②错误
③：对数列{akn}有akn2-ak（n-1）2=（akn2-akn-12）+（akn-12-akn-22）+…+（akn-k+12-akn-k2）=kp，而k，p均为常数，所以数列{akn}也是“等方差数列”，所以③正确
④：设数列{an}首项a1，公差为d则有a2=a1+d，a3=a1+2d，所以有（a1+d）2-a12=p，且（a1+2d）2-（a1+d）2=p，所以得d2+2a1d=p，3d2+2a1d=p，上两式相减得d=0，所以此数列为常数数列，所以④正确．
故答案为：③④