Question

如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形
（1）求证：AD⊥BC
（2）求二面角B-AC-D的大小．

Answer

（1）根据所给的三棱锥中的各边关系，可以判断△BCD为等腰直角三角形，又因为∵△ABC为等边三角，所以若取BC中点O，连AO、DO，则AO⊥BC，DO⊥BC，就可得到BC⊥平面AOD，BC⊥AD．
（2）欲求二面角B-AC-D的大小，先找到二面角的平面角，二面角的平面角满足，顶点在棱上，两条边分别在两个面内，且两条边分别垂直于棱，因为图中没有满足条件的角，所以可以添加辅助线，作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，
则∠BMN就是二面角B-AC-D的平面角．在把角放入三角形BMN中，通过解三角形求出该角．
证明：（1）在Rt△ABD与Rt△ACD中，∵AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，∴AB=AC=
∵∵△ABC为等边三角形，∴BC=，
∴△BCD为等腰直角三角形，
取BC的中点O，连AO、DO，
∵△ABC为等边三角形，∴AO⊥BC
∵△BCD为等腰直角三角形，∴DO⊥BC．
∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥AD．
【解析】
（2）作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，
则∠BMN就是二面角B-AC-D的平面角．
∵，M是AC的中点，且MN∥CD
则．
由余弦定理得，
∴．