Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ．
（Ⅰ）设b_n=．证明：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）由an+1=2an+2n构造可得即数列{bn}为等差数列
（2）由（1）可求=n，从而可得an=n•2n-1 利用错位相减求数列{an}的和
【解析】
由an+1=2an+2n．两边同除以2n得
∴，即bn+1-bn=1
∴{bn}以1为首项，1为公差的等差数列
（2）由（1）得
∴an=n•2n-1
Sn=2+2×21+3×22+…+n•2n-1
2Sn=21+2×22+…+（n-1）•2n-1+n•2n
∴-Sn=2+21+22+…+2n-1-n•2n
=
∴Sn=（n-1）•2n+1