Question

数列{a_n}中，．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）猜想a_n的表达式，并用数学归纳法加以证明．

Answer

（1）由．我们依次将n=1，2，3，4…代入，可以求出a1，a2，a3，a4；
（2）观察（1）的结论，我们可以推断出an的表达式，然后由数学归纳法的步骤，我们先判断n=1时是否成立，然后假设当n=k时，公式成立，只要能证明出当n=k+1时，公式成立即可得到公式对所有的正整数n都成立．
【解析】
（Ⅰ）∵，∴，即a1=1，
∵，即a1+a2=4-a2-1，∴a2=1，
∵，即a1+a2+a3=4-a3-，∴a3=，
∵，即a1+a2+a3+a4=4-a4-，∴a3=，
（Ⅱ）猜想
证明如下：①当n=1时，a1=1，此时结论成立；
②假设当n=k（k∈N*）结论成立，即，
那么当n=k+1时，有
∵
∴，
这就是说n=k+1时结论也成立．
根据①和②，可知对任何n∈N*时．