Question

如图，已知直线L：x=my+!过椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线G：x=a²上的射影依次为点D，K，E．
（1）若抛物线x²=4y的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；
（2）连接AE，BD，证明：当m变化时，直线AE、BD相交于一定点．

Answer

（1）易知，c=1，结合a2=b2+c2可求椭圆的方程
（2）要证当m变化时，直线AE、BD相交于一定点．先找m去特殊值（m=0）时AE与BD相交FK中点故猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点然后只要证明AN，EN 的斜率相等，从而可得A、N、E三点共线同理可得B、N、D三点共线即可
【解析】
（1）易知，c=1，a2=b2+c2=4
∴椭圆的方程为（6分）
（2）∵F（1，0）
当m=0时，直线L⊥ox轴，则ABED为矩形，
由对称性知，AE与BD相交FK中点N，且
猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点（8分）
证明：设A（x1，y1）B（x2，y2）E（a2，y2）D（a2，y1）
当m变化时首先AE过定点N
即（a2+b2m2）y2+2mb2y+b2（1-a2）=0
△=4a2b2（a2+m2b2-1）＞0（a＞1）

∵=
∴kAN=KEN∴A、N、E三点共线
同理可得B、N、D三点共线
∴AE与BD相交于定点（14分）