Question

如图，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面为正方形的长方体，∠AD₁A₁=60°，AD₁=4，点P是AD₁上的动点．
（1）试求四棱锥P-A₁B₁C₁D₁体积的最大值；
（2）试判断不论点P在AD₁上的任何位置，是否都有平面B₁PA₁垂直于平面AA₁D₁？并证明你的结论．

Answer

（1）由棱锥的体积公式，由底面A1B1C1D1的面积固定，则四棱锥P-A1B1C1D1的高取最大值时，四棱锥P-A1B1C1D1体积取最大值，结合P是AD1上的动点，易得当P与A重合时满足条件，代入棱锥的体积公式，即可求出答案．
（2）由题意知，B1A1⊥A1D1，B1A1⊥A1A，由线面垂直的判定定理，可得B1A1⊥平面AA1D1，进而由面面垂直判定得到平面B1PA1垂直于平面AA1D1．
【解析】
（1）∵ABCD-A1B1C1D1是长方体∴侧面AA1D1⊥底面A1B1C1D1
∴四棱锥P-A1B1C1D1的高为点P到平面A1B1C1D1的距离
当点P与点A重合时，四棱锥P-A1B1C1D1的高取得最大值，这时四棱锥P-A1B1C1D1体积最大，
在 Rt△AA1D1中∵∠AD1A1=60°
∴，A1D1=AD1cos60°=2，
∴（）max=••AA1=
（2）不论点P在AD1上的任何位置，都有平面B1PA1垂直于平面AA1D1．证明如下：
由题意知，B1A1⊥A1D1，B1A1⊥A1A，
又∵AA1∩A1D1=A1
∴B1A1⊥平面AA1D1
又A1B1⊂平面B1PA1
∴平面B1PA1⊥平面AA1D1．