Question

如图，函数f（x）=ax³+bx²+cx+d图象与x轴相切于原点．
（1）求证：b＞0
（2）已知x₁=1，设g（x）=ex²，若在[0，e]上至少存在一点x，使得f（x）＞g（x）成立，求实数b的取值范围．

Answer

（1）根据图象可得到函数在x=0处的函数值与导数都等于0，就可求出c，d的值，再通过图象判断函数的单调性，得到导数取正值和负值的范围，因为导数是关于x的二次函数，根据导数何时取正值，何时取负值，就可判断a的符号，和对称轴的符号，进而得到b的范围．
（2）先由x1=1，得f′（1）=0，从而f（x）=-bx3+bx2，再构造新函数h（x））=f（x）-g（x）=-bx3+（b-e）x2=x2（-bx+b-e），若在[0，e]上至少存在一点x，使得f（x）＞g（x）成立，只需h（x）＞0在[0，e]上有解，即-bx+b-e＞0在[0，e]上有解，最后将问题转化为求函数y=-bx+b-e在[0，e]上的最大值问题即可
【解析】
（1）证明：
∴f′（x）=3ax2+bx，通过图象可得出，
当x＜0时，原函数为减函数，当0＜x＜x1时，原函数为增函数，当x＞x1时，原函数为减函数，
∴当x＜0时，导数小于0，当0＜x＜x1时，导数大于0，当x＞x1时，导数小于0，
∴导函数f′（x）=3ax2+bx图象为开口向下的抛物线，且对称轴在0和x1之间
∴a＜0，＞0，∴b＞0
（2）【解析】
∵f′（1）=0，∴b=-3a，∴f（x）=-bx3+bx2
令h（x）=f（x）-g（x）=-bx3+（b-e）x2=x2（-bx+b-e）
若在[0，e]上至少存在一点x，使得f（x）＞g（x）成立
即h（x）＞0在[0，e]上有解，即-bx+b-e＞0在[0，e]上有解
只需y=-bx+b-e在[0，e]上的最大值大于零，
∵b＞0
∴y=-bx+b-e在[0，e]上的最大值为b-e
∴b＞e即可