Question

已知函数f（x）=a+bcosx+csinx的图象经过点A（0，1）及B（，1）两点．
（1）当x∈[0，]时恒有|f（x）|≤2，求实数a的取值范围；
（2）当a取题（1）中a范围的最小整数值时，若存在实数m，n，φ，使mf（x）+nf（x-φ）=1对任意的x∈R恒成立，试求m，n，φ的值．

Answer

（1）由已知中条件，找到a，b，c之间的关系，可将函数解析式进行化简，然后分类讨论a取不同值时，|f（x）|≤2
的解集情况，综合讨论结果，即可得到答案．
（2）由题意可得a=-1，函数f（x）=-1+2sin（），2msin（）+2n sin（-∅）=1+m+n，对任意的x∈R恒成立，故有m=n=-，且 sin（）=-sin（-∅），∅=2kπ+π，k∈z．
【解析】
（1）把点A（0，1）及B（，1）的坐标代入函数f（x）=a+bcosx+csinx可得
1=a+b，1=a+c，∴b=1-a，c=1-a，故 f（x）=a+（1-a）（sinx+cosx）=a+（1-a）sin（）．
∵0≤x≤，则 ≤≤，∴≤sin（x+）≤1．
当a＜1时，1≤f（x）≤+（1-）a，要使|f（x）|≤2，只须 +（1-）a≤2，解得 a≥-．
当 a＞1时，+（1-）a≤f（x）≤1，要使|f（x）|≤2，只须+（1-）a≥-2，解得 a≤4+3，
故所求a的范围是-≤a≤4+3．
（2）当a取题（1）中a范围的最小整数值-1时，函数f（x）=-1+2sin（），
mf（x）+nf（x-φ）=1对任意的x∈R恒成立，即 m[-1+2sin（）]+n[-1+2sin（-∅）]=1，
即 2msin（）+2n sin（-∅）=1+m+n，对任意的x∈R恒成立．
故有m=n=-，且 sin（）=-sin（-∅），∴∅=2kπ+π，k∈z．
综上，m=n=-，∅=2kπ+π，k∈z．