Question

已知数列{a_n} 中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1．
（1）求a₂，a₃，a₄的值．
（2）猜想a_n的通项公式，并给予证明．

Answer

（1）在数列递推式中，令n=1求出a2，令n=2求出a3，，令n=3求出a4．
（2）由（1）应猜想an=2n-1．用数学归纳法证明即可．
【解析】
（1）n=1时 a2=2×1+1=3
n=2时 a3=2×3+1=7
n=3时 a4=2×7+1=15
（2）猜想an=2n-1．证明
①当n=1时，a1=21-1=1，命题成立．
②假设n=k（k≥1）时命题成立．即 ak=2k-1．
那么n=k+1时，ak+1=2×ak+1=2×（2k-1）+1=2k+1-1．命题对n=k+1也成立
综上①②可知命题对一切自然数都成立．