Question

若数列{a_n}满足a_n+1²-a_n²=d，其中d为常数，则称数列{a_n}为等方差数列．已知等方差数列{a_n}满足a_n＞0，a₁=1，a₅=3．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）求数列的前n项和．
（3）记b_n=na_n²，则当实数k大于4时，不等式kb_n大于n（4-k）+4能否对于一切的n∈N^*恒成立？请说明理由．

Answer

（1）要求数列的通项公式，我们根据数列{an}为等方差数列，且a1=1，a5=3．我们根据等方差数列的定义：an+12-an2=d我们可以构造一个关于d的方程，解方程求出公差d，进而求出数列的通项公式．
（2）由（1）的结论我们易给出的通项公式，然后利用错位相消法，即可求出数列的前n项和．
（3）要证明当实数k大于4时，不等式kbn大于n（4-k）+4对于一切的n∈N*恒成立，我们有两种思路：一是由bn=nan2，给出数列bn的通项公式，然后构造函数g（n）=kn2-2n-2，通过证明函数g（n）=kn2-2n-2的单调性进行证明；二是转化为证明k＞，即k大于的最大值恒成立．
【解析】
（1）由a1=1，a5=3得，
a52-a12=4d，
∴d=2．（2分）
∴an2=1+（n-1）×2=2n-1
∵an＞0，
∴an=，
数列{an}的通项公式为an=；（4分）
（2）=（2n-1），
设Sn=1•+3•+5•+…+（2n-1）•①（5分）
Sn=1•+3•+5•+…+（2n-1）•②（6分）
①-②，得
∴Sn=+2（++…+）-（2n-1）•
=+-（2n-1）•
∴Sn=3-．（8分）
即数列的前n项和为3-；
（3）解法一：bn=n（2n-1），不等式kbn＞n（4-k）+4恒成立，
即kn2-2n-2＞0对于一切的n∈N+恒成立．（10分）
设g（n）=kn2-2n-2．（11分）
当k＞时，由于对称轴n=＜1，且g（1）=k-2-2＞0
而函数g（n）在[1，+∞）是增函数，（12分）
∴不等式kbn＞n（4-k）+4恒成立，
即当k＞4时，不等式kbn＞n（4-k）+4对于一切的n∈N+恒成立．（13分）
解法二：bn=n（2n-1），不等式kbn＞n（4-k）+4恒成立，即kn2-2n-2＞0对于一切的n∈N+恒成立．（10分）
∴k＞（11分）
∴n≥1，∴≤4．（12分）
而k＞4
∴k＞恒成立．
故当k＞4时，不等式kbn＞n（4-k）+4对于一切的n∈N+恒成立．（13分）