Question

如图，圆柱的高为2，底面半径为3，AE、DF是圆柱的两条母线，B、C是下底面圆周上的两点，已知四边形ABCD是正方形．
（Ⅰ）求证：BC⊥BE；
（Ⅱ）求正方形ABCD的边长；
（Ⅲ）求直线EF与平面ABF所成角的正弦值．

Answer

（I）根据AE⊥底面BEFC，可得AE⊥BC，而AB⊥BC，又AE∩AB=A满足线面垂直的判定定理所需条件，则BC⊥面ABE，根据线面垂直的性质可知BC⊥BE；
（II）根据题意可知四边形EFBC为矩形则BF为圆柱下底面的直径，设正方形ABCD的边长为x，根据BE2+EF2=BF2，建立方程，解之即可求出所求；
（III）以F为原点建立空间直角坐标系，求出面AEF的法向量，然后求出法向量与向量的余弦值即可求出直线EF与平面ABF所成角的正弦值．
【解析】
（I）∵AE是圆柱的母线∴AE⊥底面BEFC，（1分）
又BC⊂面BEFC∴AE⊥BC（2分）
又∵ABCD是正方形∴AB⊥BC
又AE∩AB=A∴BC⊥面ABE（3分）
又BE⊂面ABE∴BC⊥BE（4分）
（II）∵四边形AEFD为矩形，且ABCD是正方形∴EFBC
∵BC⊥BE∴四边形EFBC为矩形∴BF为圆柱下底面的直径（1分）
设正方形ABCD的边长为x，则AD=EF=AB=x
在直角△AEB中AE=2，AB=x，且BE2+AE2=AB2，得BE2=x2-4
在直角△BEF中BF=6，EF=x，且BE2+EF2=BF2，的BE2=36-x2（2分）
解得x=，即正方形ABCD的边长为（3分）
（III）【解析】
如图以F为原点建立空间直角坐标系，
则A（，0，2），B（，4，0），E（，0，0），=（，0，2），=（，4，0），=（，0，0）（1分）
设面AEF的法向量为=（x，y，z），则（3分）
令x=1，则，即=（1，，）（4分）
设直线EF与平面ABF所成角的大小为θ，则（6分）
所以直线EF与平面ABF所成角的正弦值为．