Question

设函数f（x）=（1+x）²-ln（1+x）²+2．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）若不等式f（x）＞m在恒成立，求实数m的取值范围．
（3）若对任意的a∈（1，2），总存在x∈[1，2]，使不等式成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）求出f（x）的导函数，令f′（x）＞0得-2＜x＜-1或x＞0写出区间形式即为函数f（x）的单调增区间．
（2）由（1）得f（x）在的单调性，进一步求出f（x）min，得到m的范围．
（3）构造函数g（a），通过导数求出g（a）的最大值，由（1）求出fmax=f（2）=11-ln9，令fmax大于g（a）的最大值求出a的范围
【解析】
（1）函数的定义域为{x|x≠-1}…（1分）
…（2分）
由f′（x）＞0得-2＜x＜-1或x＞0
故函数f（x）的单调增区间为（-2，-1）和（0，+∞）
（2）∵当时f′（x）＜0…（4分）
当x∈[0，e-1]时f′（x）＞0
∴f（x）在上单调递减，在[0，e-1]上单调递减．…（6分）
f（x）min=f（0）=1-0+2=3
∴m＜3…（8分）
（3）设
y=g（a）在上单减，在上单增…（10分）
由（1）知f（x）在[1，2]上单增，
∴fmax=f（2）=11-ln9…（12分）
又

g（1）＞g（2）
∴
∴…（14分）