Question

已知函数在区间[-1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，
（1）求实数a的值
（2）若关于x的方程f（2^x）=m有三个不同实数解，求实数m的取值范围．

Answer

（1）由题意可得，x=1取得极小值从而有f'（1）=0，代入可求a
（2）由关于x的方程f（2x）=m有三个不同实数解，⇔关于t的方程f（t）=m在t∈（0，+∞）上有三个不同实数解，⇔y=f（t）的图象与直线y=m在t∈（0，+∞）上有三个不同的交点
【解析】
（1）由函数在区间[-1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，x=1取得极小值∴f'（1）=0…（2分）
∵f'（x）=-x3+2x2+2ax-2
∴f'（1）=…（4分）
（2）由（1）知，
∴f'（x）=-x3+2x2+x-2=-（x-1）（x+1）（x-2），…（5分）
令f'（x）=0得x=1，x=-1，x=2

x （-∞，-1） -1 （-1，1） 1 （1，2） 2 （2，+∞）
f'（x） + - + -
f（x） 增 减 增 减

所以函数f（x）有极大值，，极小值f（x）的示意图如图
因关于x的方程f（2x）=m有三个不同实数解，令2x=t（t＞0）
即关于t的方程f（t）=m在t∈（0，+∞）上有三个不同实数解，即y=f（t）的图象与直线y=m在t∈（0，+∞）上有三个不同的交点．
而y=f（t）的图象与y=f（x）的图象一致．又f（0）=-2由图可知…（10分）