Question

已知函数f（x）=|x-a|+|x+4|．
（Ⅰ）a=1时，求f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x）≥1的解集是全体实数，求a的取值范围．

Answer

（1）由绝对值的几何意义，我们易确定出函数f（x）=|x-a|+|x+4|在a=1时的最小值，进而得到f（x）的值域；
（Ⅱ）利用绝对值的性质，我们可以对函数的解析式进行变形，消去x求出函数的最小值，将问题转化为一个函数恒成立问题，构造关于a的不等式，解不等式即可得到答案．
【解析】
（I）∵f（x）=|x-a|+|x+4|．
当a=1时，
f（x）=|x-1|+|x+4|．
表示数轴上动点到1和-4两点的距离和，
故f（x）=|x-1|+|x+4|≥5
即函数的值域为[5，+∞）
（II）f（x）=|x-a|+|x+4|=|a-x|+|x+4|≥|a-x+x+4|=|a+4|．
若f（x）≥1的解集是全体实数，
则|a+4|≥1
∴a∈（-∞，-5]∪[-3，+∞）