Question

设函数f（x）=x-xlnx．数列{a_n}满足0＜a₁＜1，a_n+1=f（a_n）．
（Ⅰ）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数；
（Ⅱ）证明：a_n＜a_n+1＜1；
（Ⅲ）设b∈（a₁，1），整数．证明：a_k+1＞b．

Answer

（1）首先求出函数的导数，然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数在区间（0，1）上的单调性，从而
进行证明．
（2）由题意数列{an}满足0＜a1＜1，an+1=f（an），求出an+1=an-anlnan，然后利用归纳法进行证明；
（3）由题意f（x）=x-xlnx，an+1=f（an）可得ak+1=ak-b-ak，然后进行讨论求解．
【解析】
（Ⅰ）证明：∵f（x）=x-xlnx，
∴f′（x）=-lnx，
当x∈（0，1）时，f′（x）=-lnx＞0
故函数f（x）在区间（0，1）上是增函数；

（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）
（i）当n=1时，0＜a1＜1，a1lna1＜0，
a2=f（a1）=a1-a1lna1＞a1，
∵函数f（x）在区间（0，1）是增函数且函数f（x）在x=1处连续，
∴f（x）在区间（0，1]是增函数，
a2=f（a1）=a1-a1lna1＜1，即a1＜a2＜1成立，
（ⅱ）假设当x=k（k∈N+）时，ak＜ak+1＜1成立，
即0＜a1≤ak＜ak+1＜1，
那么当n=k+1时，由f（x）在区间（0，1]是增函数，0＜a1≤ak＜ak+1＜1，
得f（ak）＜f（ak+1）＜f（1），
而an+1=f（an），
则ak+1=f（ak），ak+2=f（ak+1），ak+1＜ak+2＜1，
也就是说当n=k+1时，an＜an+1＜1也成立，
根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n，an＜an+1＜1恒成立．

（Ⅲ）证明：由f（x）=x-xlnx，an+1=f（an）可得
ak+1=ak-b-ak=，
1）若存在某i≤k2，满足ai≤b3，，则由（Ⅱ）知：ak+1-b＜ai-b≥04，
2）若对任意i≤k6，都有ai＞b，则ak+1=ak-b-aklnak==≥a1-b1-ka1ln=0，
即ak+1＞b成立．