Question

设数列{a_n}满足：a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=2ⁿ（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=n²a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）根据题意，可得a1+2a2+3a3++（n-1）an-1=2n-1，两者相减，可得数列{an}的通项公式．
（2）根据题意，求出bn的通项公式，继而求出数列{bn}的前n项和Sn．
【解析】
（1）∵a1+2a2+3a3+…+nan=2n①，
∴n≥2时，a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1=2n-1②
①-②得nan=2n-1，an=（n≥2），在①中令n=1得a1=2，
∴an=
（2）∵bn=．
则当n=1时，S1=2
∴当n≥2时，Sn=2+2×2+3×22+…+n×2n-1
则2Sn=4+2×22+3×23+…+（n-1）•2n-1+n•2n
相减得Sn=n•2n-（2+22+23+…+2n-1）=（n-1）2n+2（n≥2）
又S1=2，符合Sn的形式，
∴Sn=（n-1）•2n+2（n∈N*）