Question

在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，如果底边正方形ABCD的边长为AB=2，侧棱，则下列四个命题：
①AA₁与BC₁成45°角；
②AA₁与BC₁的距离为2；
③二面角C₁-AB-C为；
④B₁D⊥平面D₁AC．
则正确命题的序号为    ．

Answer

①由题意可得：BC1∥AD1，所以AA1与BC1成的角等于AA1与AD1成的角．再根据AB=2，侧棱，可得AA1与BC1成不等于45°角．
②由题意可得：线段AB是AA1与BC1的公垂线，可得AA1与BC1的距离为线段AB的长度．
③连接BC1，根据题意与二面角平面角的定义可得∠C1BC是二面角C1-AB-C的平面角，再利用解三角形的有关知识求出答案．
④连接AD1，A1D，由题中条件可得：AD1与A1D不垂直，进而得到B1D与AD1不垂直，可得B1D与平面D1AC不垂直．
【解析】
①由题意可得：ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，所以BC1∥AD1，所以AA1与BC1成的角等于AA1与AD1成的角．
又因为正方形ABCD的边长为AB=2，侧棱，
所以AA1与BC1成不等于45°角，所以①错误．
②由正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的结构特征可得：线段AB是AA1与BC1的公垂线，所以AA1与BC1的距离为线段AB的长度，所以AA1与BC1的距离为2，所以②正确．
③连接BC1，由正四棱柱的结构特征可得AB⊥BC1，AB⊥BC，所以根据二面角平面角的定义可得∠C1BC是二面角C1-AB-C的平面角．
因为正方形ABCD的边长为AB=2，侧棱，
所以tan∠C1BC=，所以二面角C1-AB-C为，所以③正确．
④连接AD1，A1D，因为正方形ABCD的边长为AB=2，侧棱，所以AD1与A1D不垂直，所以根据三垂线定理可得B1D与AD1不垂直，所以B1D与平面D1AC不垂直，所以④错误．
故答案为：②③