Question

设函数f（x）=（x+2）²-2ln（x+2）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=x²+3x+a在区间[-1，1]上只有一个实数根，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）求出函数f（x）的导数f′（x），注意到函数的定义域为（-2，+∞），在此基础上讨论函数f′（x）的正负，可得函数的单调区间；
（Ⅱ）将函数f（x）的表达式代入，方程f（x）=x2+3x+a变形为x-a+4-2ln（2+x）=0，然后令左边对应的函数为g（x），再通过求导数g′（x），得到在g（x）在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增，问题转化为①函数的极小值等于0；②左边的最大值小于0，而右边的最大值大于或等于0；③左边的最大值大于或等于0，右边的最大值小于0．三种情况必据其一，因此分类讨论即可得出实数a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（-2，+∞），
因为f′（x）=2[（x+2）-]=，
所以 当-2＜x＜-1时，f′（x）＜0；
当x＞-1时，f′（x）＞0．
故f（x）的单调递增区间是（-1，+∞）；
f（x）的单调递减区间是（-2，-1）（注：-1处写成“闭的”亦可）
（Ⅱ）由f（x）=x2+3x+a得：x-a+4-2ln（2+x）=0，
设g（x）=x-a+4-2ln（2+x），求导数得g′（x）=1-=
在区间[-1，1]上加以讨论：
当-1＜x＜0时，g′（x）＜0，而当0＜x＜1时，g′（x）＞0，
故g（x）在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增，
要使方程f（x）=x2+3x+a在区间[-1，-1]上只有一个实数根，
则必须且只需g（0）=0，或或
接下来分类：
①当g（0）=0时，解之得a=4-2ln2；
②当时，
解之得a∈φ
③当时，
解之得a∈（5-2ln3，3]
综上所述，得a=4-2ln2，或a∈（5-2ln3，3]
所以实数a的取值范围（5-2ln3，3]∪{4-2ln2}．