Question

对于函数f（x），若存在x∈R，使f（x）=x成立，则称x为f（x）的不动点．如果函数有且仅有两个不动点0和2，且．
（1）求实数b，c的值；
（2）已知各项不为零的数列{a_n}的前n项之和为S_n，并且，求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：．

Answer

（1）如果设 ，整理得：（1-b）x2+cx+a=0，由根与系数的关系得：，解得 ，代入f（x），并由f（-2）＜，得c＜3，且c，b∈N，f（x）=x有且只有两个不动点，得c、b的值，从而得f（x）解析式．
（2）由题意，知 ，所以，2Sn=an-an2①；又an≠1，把n-1代替n得：2Sn-1=an-1-an-12，②；
①-②得：an，an-1的关系，从而得数列{an}是等差数列，通项公式为an=-n；
（3）由an=-n，知，，先由数学归纳法证明，成立．所以，．
【解析】
（1）设 得：（1-b）x2+cx+a=0，由根与系数的关系，得：，
解得 ，代入解析式 ，由 ，
得c＜3，又c∈N，b∈N，若c=0，b=1，则f（x）=x不止有两个不动点，∴．
（2）由题设，知 ，所以，2Sn=an-an2①；
且an≠1，以n-1代n得：2Sn-1=an-1-an-12，②；
由①-②得：2an=（an-an-1）-（an2-an-12），即（an+an-1）（an-an-1+1）=0，
∴an=-an-1或an-an-1=-1，以n=1代入①得：2a1=a1-a12，
解得a1=0（舍去）或a1=-1；由a1=-1，若an=-an-1得a2=1，这与an≠1矛盾，
∴an-an-1=-1，即{an}是以-1为首项，-1为公差的等差数列，∴an=-n；
（3）由an=-n，知，
，
当n=1时，=，，成立．
假设n=k时，成立，
则当n=k+1时，成立．
所以，．