Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=1，，侧棱AA₁=1，侧面AA₁B₁B的两条对角线交点为D，B₁C₁的中点为M．
（1）求证：CD⊥平面BDM；
（2）求二面角A-BD-C的大小．

Answer

（1）建立空间直角坐标系，求出相关向量计算 即得证，
（2）求出面B1BD与面CBD的法向量，利用向量的数量积求解可得答案．
证明：如图以C为原点建立坐标系．
（1）B（ ，0，0），B1（ ，1，0），A1（0，1，1），
D（ ，，），
M（ ，1，0），=（ ，，），=（ ，-1，-1），=（0，，-），，
∴CD⊥A1B，CD⊥DM．
因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，
所以CD⊥平面BDM．
（2）设BD中点为G，连接B1G，
则G ，=（-，，），=，
∴，∴BD⊥B1G，
又CD⊥BD，∴与 的夹角θ等于所求二面角的平面角，
cos ．
又由于二面角A-BD-C的平面角与面B1BD与面CBD所成二面角互补
所以所求二面角的大小为arccos ．