Question

如图，已知：在菱形ABCD中，∠DAB=60°，PA⊥底面ABCD，PA=DA，E，F分别是AB与PD的中点．
（1）求证：PC⊥BD；
（2）求证：AF∥平面PEC；
（3）在线段BC上是否存在一点M，使AF⊥平面PDM？
若存在，指出点M的位置；若不存在，说明理由．

Answer

（1）先构造线面垂直，然后利用线面垂直的定义，可得线线垂直．
（2）要证线面平行先证线线平行：取PC的中点K，连接FK、EK，则四边形AEKF是平行四边形，得到AF∥EK，然后利用线面平行的判定定理即得AF∥平面PEC．
（3）由于菱形ABCD中，∠DAB=60°，所以△BCD为正三角形，取CB的中点M，则DM⊥BC，然后利用底面中的平行关系，可得线线垂直，从而得到线面垂直．
证明：（1）连接AC，则AC⊥BD．
∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥BD又AC与PA相交于A
∴BD⊥平面PAC∴PC⊥BD（4分）
（2）取PC的中点K，连接FK、EK，
则四边形AEKF是平行四边形．
∴AF∥EK，又EK⊂平面PEC，AF⊄平面PEC，
∴AF∥平面PEC．（8分）
（3）当M是BC的中点时，可使AF⊥平面PDM，证明如下：（9分）
∵PA=DA，F是PD的中点∴AF⊥PD（10分）
∵菱形ABCD中，∠DAB=60°∴正△BCD中DM⊥BC
又AD∥BC∴DM⊥AD（12分）
∵PA⊥底面ABCD∴PA⊥DM∴DM⊥平面PAD
∴DM⊥AF又PD∩DM=D∴AF⊥平面PDM（14分）