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已知x=0是函数f(x)=(x2+ax+b)ex(x∈R)的一个极值点,且函数f...

已知x=0是函数f(x)=(x2+ax+b)ex(x∈R)的一个极值点,且函数f(x)的图象在x=2处的切线的斜率为2e2
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式并求单调区间.
(Ⅱ)设g(x)=manfen5.com 满分网,其中x∈[-2,m],问:对于任意的m>-2,方程g(x)=(m-1)2在区间(-2,m)上是否存在实数根?若存在,请确定实数根的个数.若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)由x=0是函数f(x)=(x2+ax+b)ex(x∈R)的一个极值点,f′(0)=0,得到关于a,b的一个方程,函数f(x)的图象在x=2处的切线的斜率为2e2,f′(2)=2e2;得到一个关于a,b的一个方程,解方程组求出a,b即可;(Ⅱ)把求得的f′(x)代入g(x),方程g(x)=(m-1)2在区间(-2,m)上是否存在实数根,转化为求函数g(x)在区间(-2,m)上的单调性、极值、最值问题. 【解析】 (I)f′(x)=[x2+(a+2)x+a+b]ex 由f′(0)=0得b=-a∴f′(x)=[x2+(a+2)x]ex 又f′(2)=2e2 ∴[4+2(a+2)]e2=2e2 故a=-3 令f′(x)=(x2-x)ex≥0得x≤0或x≥1 令f′(x)=(x2-x)ex<0得0<x<1 故:f(x)=(x2-3x+3)gx,单调增区间是(-∞,o],[1,+∞),单调减区间是(0,1). (Ⅱ)【解析】 假设方程g(x)=在区间(-2,m)上存在实数根 设x是方程的实根,, 令,从而问题转化为证明方程 在(-2,m)上有实根,并讨论解的个数 因为=,, 所以 ①当m>4或-2<m<1时,h(2)-h(m)<0,所以h(x)=0在(-2,m)上有解,且只有一解 ②当1<m<4时,h(-2)>0且h(m)>0,但由于, 所以h(x)=0在(-2,m)上有解,且有两解 ③当m=1时,h(x)=x2-x=0⇒x=0或x=1,所以h(x)=0在(-2,m)上有且只有一解; 当m=4时,h(x)=x2-x6=0⇒x=-2或x=3, 所以h(x)=0在(-2,4)上也有且只有一解, 综上所述,对于任意的m>-2,方程g(x)=在区间(-2,m)上均有实数根 且当m≥4或-2<m≤1时,有唯一的实数解;当1<m<4时,有两个实数解.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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