Question

给出4个命题：
（1）设椭圆长轴长度为2a（a＞0），椭圆上的一点P到一个焦点的距离是，P到一条准线的距离是，则此椭圆的离心率为．
（2）若椭圆（a≠b，且a，b为正的常数）的准线上任意一点到两焦点的距离分别为d₁，d₂，则|d₁²-d₂²|为定值．
（3）如果平面内动点M到定直线l的距离与M到定点F的距离之比大于1，那么动点M的轨迹是双曲线．
（4）过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为A₁、B₁，则FA₁⊥FB₁．
其中正确命题的序号依次是    ．（把你认为正确的命题序号都填上）

Answer

对于（1）：椭圆上的一点P到一个焦点的距离是，P到相应的一条准线的距离是，则此椭圆的离心率才为．；对于（2）若椭圆（a≠b，且a，b为正的常数）的准线上任意一点到两焦点的距离分别为d1，d2，则|d12-d22|=4a2为定值；（3）如果平面内动点M到定点F的距离与M到定直线l的距离之比大于1，那么动点M的轨迹才是双曲线；对于（4）由抛物线的定义及内错角相等，可得∠AFA1=∠A1FK，同理可证∠BFB1=∠B1FK，由∠AFA1+∠A1FK+∠BFB1+∠B1FK=180°，可得答案．
【解析】
对于（1）：椭圆上的一点P到一个焦点的距离是，P到相应的一条准线的距离是，则此椭圆的离心率才为．本选项中的准线不一定与焦点对应，故错；
对于（2）若椭圆（a≠b，且a，b为正的常数）的准线上任意一点到两焦点的距离分别为d1，d2，则|d12-d22|=4a2为定值，正确．
（3）如果平面内动点M到定点F的距离与M到定直线l的距离之比大于1，那么动点M的轨迹才是双曲线，故错．
对于（4）如图：设准线与x轴的交点为K，∵A、B在抛物线的准线上的射影为A1、B1，
由抛物线的定义可得，AA1=AF，∴∠AA1F=∠AFA1，又由内错角相等得∠AA1F=∠A1FK，
∴∠AFA1=∠A1FK．
同理可证∠BFB1=∠B1 FK．   
由∠AFA1+∠A1FK+∠BFB1+∠B1FK=180°，
∴∠A1FK+∠B1FK=∠A1FB1=90°，则FA1⊥FB1．正确．
故答案为：（2）（4）．