Question

从2008年9月12日含有三聚氰胺的“三鹿”婴儿毒奶粉事件曝光后，国家质检部门加大了对各种乳制品的检查力度．现随机抽取某品牌乳制品企业的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为ξ．
（Ⅰ）求ξ的分布列及1件产品的平均利润；
（Ⅱ）为了提高乳制品的质量，国内某名牌乳制品企业经技术革新，虽然仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，求三等品率最多是多少？

Answer

（I）求出ξ的所有取值以及ξ取每一个值的概率值，列出分布列，利用随机变量的期望公式求出1件产品的平均利润；
（II）设三等品率最多为x，列出随机变量ξ的分布列，利用随机变量的期望公式列出关于x的不等式，求出x的范围．
（Ⅰ）ξ的取值：6、2、1、-2…（1分）
P（ξ=6）==0.63；P（ξ=2）==0.25；
P（ξ=1）==0.1；P（ξ=-2）==0.02；  …（4分）
ξ的分布列：

ξ 6 2 1 -2
P 0.63 0.25 0.1 0.02

Eξ=6×0.63+2×0.25+1×0.1+（-2）×0.02=4.34…（6分）
（Ⅱ）设三等品率最多为x．

ξ 6 2 1 -2
P 0.7 0.29-x x 0.01

…（9分）
Eξ=6×0.7+2×（0.29-x）+1×x+（-2）×0.01≥4.73
∴x≤0.03
∴三等品率最多为3%    …12分）