Question

设α，β，γ 都是锐角，且sinα+sinβ+sinγ=1，证明
（1）sin²α+sin²β+sin²γ≥；
（2）tan²α+tan²β+tan² γ≥．

Answer

（1）根据柯西不等式得：（sin2α+sin2β+sin2γ）（1+1+1）≥（1•sinα+1•sinβ+1•sinγ）2，结合题中条件即可证得；
（2）由恒等式tan2x=和重要结论：“若a，b，c＞0，则≥，”即可得出：得tan2α+tan2β+tan2 γ=++-3≥-3，再进行放缩即得．
证明：（1）由柯西不等式得：（sin2α+sin2β+sin2γ）（1+1+1）≥（1•sinα+1•sinβ+1•sinγ）2，
因为sinα+sinβ+sinγ=1，所以3（sin2α+sin2β+sin2γ）≥1，得：sin2α+sin2β+sin2γ≥．
（2）由恒等式tan2x=和若a，b，c＞0，则≥，
得tan2α+tan2β+tan2 γ=++-3≥-3．
于是=≥=，
由此得tan2α+tan2β+tan2 γ≥-3=．