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设α,β,γ 都是锐角,且sinα+sinβ+sinγ=1,证明 (1)sin2...

设α,β,γ 都是锐角,且sinα+sinβ+sinγ=1,证明
(1)sin2α+sin2β+sin2γ≥manfen5.com 满分网
(2)tan2α+tan2β+tan2 γ≥manfen5.com 满分网
(1)根据柯西不等式得:(sin2α+sin2β+sin2γ)(1+1+1)≥(1•sinα+1•sinβ+1•sinγ)2,结合题中条件即可证得; (2)由恒等式tan2x=和重要结论:“若a,b,c>0,则≥,”即可得出:得tan2α+tan2β+tan2 γ=++-3≥-3,再进行放缩即得. 证明:(1)由柯西不等式得:(sin2α+sin2β+sin2γ)(1+1+1)≥(1•sinα+1•sinβ+1•sinγ)2, 因为sinα+sinβ+sinγ=1,所以3(sin2α+sin2β+sin2γ)≥1,得:sin2α+sin2β+sin2γ≥. (2)由恒等式tan2x=和若a,b,c>0,则≥, 得tan2α+tan2β+tan2 γ=++-3≥-3. 于是=≥=, 由此得tan2α+tan2β+tan2 γ≥-3=.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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