Question

数列{a_n}的n前项和为S_n，且S_n=2a_n-2ⁿ．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）是否存在m，使数列{a_n-（n+m）2^n-1}是等比数列，若存在，求m的取值范围并求a_n；若不存在，说明理由．

Answer

（1）直接利用递推关系式，通过n=1，2，3，求出a1，a2，a3的值．
（2）利用已知条件，求出通项公式，判断an-（n+m）2n-1，是等比数列时，求出m的值即可．
【解析】
（1）因为数列{an}的n前项和为Sn，且Sn=2an-2n．
当n=1，2，3时解得a1=2，a2=6，a3=16；
（2）由（1）及题意an=sn-sn-1=2an-2n-（2an-1-2n-1）⇒an=2an-1+2n-1
∴=故{}是以1为首项，以为公差的等差数列
所以 =1+，
∴an=（n+1）×2n-1，
所以an-（n+m）2n-1=（1-m）×2n-1
当m≠1，an-（n+m）2n-1}是等比数列
故存在实数m≠1，使{an-（n+m）2n-1}是等比数列．