Question

已知一个圆截y轴所得的弦长为2，被x轴分成的两段弧长的比为3：1．
（1）设圆心（a，b），求实数a、b满足的关系式；
（2）当圆心到直线l：x-2y=0的距离最小时，求圆的方程．

Answer

（1）设出圆心P的坐标和半径为r，根据圆被x轴分成的两条弧之比得到|b|=r，两边平方得到一个关系式，记作①式，再根据弦长的一半，弦心距即为P的横坐标的绝对值，及圆的半径r，利用勾股定理列出另外一个关系式，记作②，两式联立消去r即可得到a与b满足的关系式；
（2）先利用点到直线的距离公式表示出圆心P到直线l的距离d，两边平方后，根据基本不等式及（1）得出的a与b的关系式即可得到d的最小值，当且仅当a=b取等号，把a=b与（1）得出的关系式联立组成方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而确定出圆心坐标和圆的半径，写出圆的标准方程即可．
【解析】
（1）设圆心P（a，b），半径为r，则|b|=，2b2=r2，①…（3分）
又|a|2+1=r2，所以a2+1=r2，②
联立①②消去r得：2b2=a2+1；…（6分）
（2）点P到直线x-2y=0的距离d=，
5d2=a2-4ab+4b2≥a2+4b2-2（a2+b2）=2b2-a2=1，…（9分）
所以，
所以，或，…（11分）
所以（x-1）2+（y-1）2=2或（x+1）2+（y+1）2=2．…（13分）