Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是AA₁的中点．
（1）求CA_l与底面ABCD所成角的正切值；
（2）证明A₁C∥平面BDE．

Answer

（1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，由于AA1⊥底面ABCD，故∠A1CA即为CAl与底面ABCD所成角．解Rt△A1CA求出tan∠A1CA的值．
（2）设AC和BD交与点O，由EO是△A1CA的中位线，可得EO∥AC．而EO⊂平面BDE，A1C不在平面BDE 内，由直线和平面平行的判定定理可得A1C∥平面BDE．
【解析】
（1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，由于AA1⊥底面ABCD，故∠A1CA即为CAl与底面ABCD所成角．
设正方体的棱长等于1，则 AA1=1，AC=，Rt△A1CA中，tan∠A1CA==．
（2）证明：设AC和BD交与点O，则O是AC的中点．再由E是AA1的中点可得EO是△A1CA的中位线，∴EO∥AC．
而EO⊂平面BDE，A1C不在平面BDE 内，∴A1C∥平面BDE．