Question

设函数f（x）=（1+x）²-ln（1+x）²
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；
（3）关于x的方程f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围． （e 为自然常数，约等于2.718281828459）

Answer

（1）先求函数的定义域，然后求导函数，令导数大于0（小于0），从而求出函数的单调区间；
（2）由（1）得f（x）在 的单调性，进一步求出f（x）max，得到m的范围；
（3）方程f（x）=x2+x+a，即x-a+1-ln（1+x）2=0，构造函数g（x）=x-a+1-ln（1+x）2，确定函数g（x）在[0，1]上递减，在[1，2]上递增，从而问题等价于只须g（x）=0在[0，1）和（1，2]上各有一个实根，故可求．
【解析】
（1）函数定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞），∵，
由f'（x）＞0，得-2＜x＜-1或x＞0，由f'（x）＜0，得x＜-2或-1＜x＜0．
则递增区间是（-2，-1），（0，+∞），递减区间是（-∞，-2），（-1，0）．------------（4分）
（2）由，得x=0或x=-2
由（1）知，f（x）在上递减，在[0，e-1]上递增-------------（6分）
又
∴时，[f（x）]max=e2-2，
故m＞e2-2时，不等式f（x）＜m恒成立-------------------------（9分）
（3）方程f（x）=x2+x+a，即x-a+1-ln（1+x）2=0
记g（x）=x-a+1-ln（1+x）2，
由g'（x）＞0，得x＜-1或x＞1，由g'（x）＜0，得-1＜x＜1．
∴g（x）在[0，1]上递减，在[1，2]上递增  （11分）
为使f（x）=x2+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，只须g（x）=0在[0，1）和（1，2]上各有一个实根，
于是有{解得2-2ln2＜a≤3-2ln3--------（15分）