Question

如图，四棱锥中，底面ABCD是菱形，SA=SD=，，且S-AD-B大小为120°，∠DAB=60°．
（1）求异面直线SA与BD所成角的正切值；
（2）求证：二面角A-SD-C的大小．

Answer

（1）过A作AO∥BD交CD的延长线于点O，连接BO交AD于点E，再连接OS，可得∠SAO是异面直线SA与所成的角．再利用解三角形的有关知识得到SE=6，OE=BE=3，在△SEO中由余弦定理可得：，然后在△SOA中由长度关系得到SO⊥OA，进而求出线面角的正切值．
（2）在△SOE中由长度关系得到SO⊥OE，又SO⊥OA，可得SO⊥平面ABCD，所以平面SOC⊥平面ABCD，过A作AF⊥OD，得到AF⊥平面SOD，作AN⊥SD，并且交SD与点N，连FN，由三垂线定理可得：FN⊥SD，根据二面角的平面角的定义可得：∠FNA为二面角A-SD-O的平面角，进而利用解三角形的有关知识求出二面角的平面角．
【解析】
（1）过A作AO∥BD交CD的延长线于点O，连接BO交AD于点E，再连接OS，
∴∠SAO是异面直线SA与所成的角．…（2分）
∵OABD是平行四边形，∴E是AD的中点．
∵SA=SD=，∴SE⊥AD，
又∵底面ABCD是菱形，并且∠DAB=60°，
∴BE⊥AD，
∴∠SEB是二面角S-AD-B的平面角，即∠SEB=120°，
∴∠SEO=60°．…（4分）
∵SA=SD=，，
∴SE=6，OE=BE=3，
∴在△SEO中由余弦定理可得：．
在△SOA中，，
∴tan∠SAO=；…（6分）
所以异面直线SA与BD所成角的正切值为．
（2）在△SOE中，
由（1）可得：在△SOA中，SO⊥OA，
∴SO⊥平面ABCD，SO⊂平面SOC
故平面SOC⊥平面ABCD，…（8分）
过A作AF⊥OD，

∴AF⊥平面SOD，
作AN⊥SD，并且交SD与点N，连FN，
∴由三垂线定理可得：FN⊥SD，
∴根据二面角的平面角的定义可得：∠FNA为二面角A-SD-O的平面角…（10分）
由题意可得：AF=ADsin60°=3，
在△SAD中根据等面积可得：，即，
所以，
所以sin∠FNA==．
故二面角A-SD-C的大小为．…（12分）