Question

对于数列{a_n}，若存在一个常数M，使得对任意的n∈N^*，都有|a_n|≤M，则称{a_n}为有界数列．
（Ⅰ）判断a_n=2+sinn是否为有界数列并说明理由．
（Ⅱ）是否存在正项等比数列{a_n}，使得{a_n}的前n项和S_n构成的数列{S_n}是有界数列？若存在，求数列{a_n}的公比q的取值范围；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）判断数列是否为有界数列，并证明．

Answer

（Ⅰ）求an=2+sinn的值域为1≤an=2+sinn≤3，根据有界数列的定义可以判断；
（Ⅱ）对公比q进行讨论，当0＜q＜1时，，易知正数数列{Sn}满足，即为有界数列；当q=1时，Sn=na1→+∞，故为无界数列；当q＞1时，Sn=a1+a2+…+an＞na1→+∞，此时为无界数列，从而得结论．
（Ⅲ）{an}为无界数列，利用放缩法，转换为利用等比数列求和可证．
【解析】
（Ⅰ）1≤an=2+sinn≤3，
故{an}为有界数列…（2分）
（Ⅱ）设公比为q，当0＜q＜1时，，
则正数数列{Sn}满足，即为有界数列；
当q=1时，Sn=na1→+∞，故为无界数列；
当q＞1时，Sn=a1+a2+…+an＞na1→+∞，此时为无界数列．
综上：当且仅当0＜q＜1时，{Sn}为有界数列…（6分）．
（Ⅲ）{an}为无界数列，事实上
∴
∴=
∴
故当n无限增大时an也无限增大，
所以{an}无界…（12分）．