Question

设函数f（x）=ax³+bx²+cx+3-a（a，b，c∈R，且a≠0），当x=-1时，f（x）取得极值为2
（1）用关于a的代数式分别表示b与c
（2）当a=1时，当x∈[-2，1]，求f（x）的最大值与最小值．

Answer

（1）因为当x=-1时，f（x）取得极值为2，所以f′（-1）=3a-2b+c=0，f（-1）=-a+b-c+3-a=2，据此就可把b，c用a表示．
（2）利用导数求最大值与最小值，先求导数，令导数等于0，得到极值点，再列表比较极值与端点函数值的大小，其中最大的为函数的最大值，最小的为函数的最小值．
【解析】
（1）f′（x）=3ax2+2bx+c
∵当x=-1时，f（x）取得极值为2
∴f′（-1）=3a-2b+c=0
f（-1）=-a+b-c+3-a=2
∴b=a+1，c=2-a
（2）当a=1时，b=2，c=1
∴f（x）=x3+2x2+x+2，∴f′（x）=3x2+4x+1
令f′（x）=3x2+4x-1=0，解得，x=1或
当 x变化时，f′（x）、f（x）变化情况如表

x -2 （-2，-1） -1 （-1，-） - （-，1） 1
f′（x） + - +
f（x） ↗ 极大值2 ↘ 极小值 ↗ 6

∴x∈[-2，1]时，f（x）max=f（1）=6，f（x）min=f（-2）=0