Question

已知数列{c_n}的前n项的和S_n满足：S_n=．
（Ⅰ）求数列{c_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=log₂（a_n-1）．证明：．

Answer

（I）先求出首项c1，然后当n≥2时，cn=Sn-Sn-1，从而求出数列{cn}的通项公式；
（II）由（I）知log2（an-1）=n，从而求出数列{an}的通项公式，则，然后利用等比数列求和公式进行求和，从而得到结论．
【解析】
（I）因为数列{cn}的前n项和Sn=，
所以c1=1，
当n≥2时，cn=Sn-Sn-1=n，当n=1时也适合，
所以，cn=n．
（II）由（I）知log2（an-1）=n，
∴an=2n+1，
∴
∴左边==右边
∴不等式成立…（14分）