Question

若f（x）=λx+sinx是区间[-1，1]上的减函数，且f（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求实数t的取值范围（ ）
A．
B．t≤-1
C．t＞-1
D．t≥-2

Answer

利用g′（x）=λ+cosx≤0在[-1，1]上恒成立得出λ≤-cosx再结合三角函数的性质即可求λ的取值范围；先利用函数f（x）在[-1，1]上单调递减，求出其最大值，再把f（x）≤t2-λt+1在x∈[-1，1]上恒成立转化为其最大值小于等于t2-λt+1恒成立，进而得到（1-t）λ+t2+sin1+1≥0（其中λ≤-1）恒成立，再利用一次函数恒成立问题的解法即可求t出的取值范围．
【解析】
f（x）=λx+sinx是区间[-1，1]上的减函数
f′（x）=λ+cosx≤0在[-1，1]上恒成立
∴λ≤-cosx．…（5分）
又∵cosx∈[cos1，1]，
∴-cosx∈[-1，-cos1]．
∴λ≤-1．…（8分）
∵f（x）在区间[-1，1]上单调递减，
因为f（x）≤t2+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，
∴f（x）max=g（-1）=-λ-sin1．
只需-λ-sin1≤t2+λt+1．
∴恒成立．
令h（λ）=（t+1）λ+t2+sin1+1，
则
∴
而t2-t+sin1≥0恒成立，
∴t≤-1．
故选B．