Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC₁；
（2）求二面角D-CB₁-B的大小．

Answer

（1）利用勾股定理得到AC2+BC2=AB2，得到AC⊥BC，利用线面垂直的判定定理得到AC⊥平面BCC1进一步证得AC⊥BC1．
（2）取BC中点E，过D作DF⊥B1C于F，连接EF．则D是AB中点，AC⊥平面BB1C1C，得到DE⊥平面BB1C1C，所以∠EFD是二面角D-B1C-B的平面角，通过解三角形求出二面角D-CB1-B的大小．
【解析】
（1）证明：直三棱柱ABC-A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5．
因为AC2+BC2=AB2，
∴AC⊥BC．…（2分）
又AC⊥CC1，且BC∩C1C=，
∴AC⊥平面BCC1．…（4分）
又BC1⊂平面BCC1，
∴AC⊥BC1．．…（5分）
（2）取BC中点E，过D作DF⊥B1C于F，连接EF．
则D是AB中点，
∴DE∥AC．
又AC⊥平面BB1C1C，
∴DE⊥平面BB1C1C，
又因为DF⊥B1C，
∴EF⊥B1C．
∴∠EFD是二面角D-B1C-B的平面角．…（8分）
在△DEF中，求得，．
∴．
∴二面角D-B1C-B的大小为．…（12分）